Đề chọn đội tuyển HSGQG Toán 12, Sở GD&ĐT Bình Dương 2025

Trích dẫn một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

– Bài toán hình học: Cho tam giác $△ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, với $BE$, $CF$ là các đường cao cắt nhau tại trực tâm $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $K$.
Qua $K$, kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$, cắt $CH$, $BH$ lần lượt tại $P$, $Q$. Đường thẳng $AH$ cắt $(O)$ tại $T$ khác $A$, và đường qua $H$ vuông góc với $EF$ cắt $BC$ tại $L$.
a) Chứng minh $LT$ tiếp xúc với đường tròn $(HPQ)$.
b) Gọi A′A’A′ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Đường thẳng qua $L$ vuông góc với $BC$ cắt A′BA’BA′B, A′CA’CA′C lần lượt tại $Y$, $Z$. Chứng minh rằng đường tròn (A′YZ)(A’YZ)(A′YZ) tiếp xúc với $(HPQ)$.

– Bài toán tổ hợp: Cho a1,a2,a3,a4,a5,a6a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6a1​,a2​,a3​,a4​,a5​,a6​ là 6 số tự nhiên không vượt quá 20, và $m$ là trung bình cộng của chúng.
a) Chứng minh không thể chia 6 số này thành 3 cặp mà mỗi cặp đều là “cặp số đẹp” (trung bình cộng của cặp lớn hơn $m$).
b) Tìm số lượng “cặp số đẹp” tối đa có thể có.

– Bài toán số học: Tìm số tập con $A$ của $X=\{1,2,3,\dots ,2023\}$ sao cho tổng các phần tử của $A$ chia hết cho 7.

Đề thi được biên soạn nhằm phát huy khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề của học sinh, đồng thời là nguồn tài liệu tham khảo quý giá cho giáo viên và học sinh trong quá trình ôn luyện. Dưới đây là bộ đề chọn đội tuyển HSGQG Toán 12 của Sở GD&ĐT Bình Dương 2025 đầy đủ, chi tiết: